目录

3.1 谓词的引入

3.1.1 个体词

3.1.2 谓词

3.1.3 复合命题的谓词符号化

3.2 量词的引入

3.2.1 量词

3.2.2 谓词逻辑符号化的两条规则

3.2.3 量词相关的真值确定

3.2.4 谓词翻译和真值

3.2.5 个体域有限的情况

3.3 谓词符号化举例

3.3.1 谓词逻辑符号化示例一

3.3.2 谓词逻辑符号化示例二

3.3.3 谓词逻辑符号化示例三

3.3.4 谓词逻辑符号化示例四

3.4 谓词合式公式

3.4.1 四类符号

3.4.2 项

3.4.3 合式公式

3.5 自由变元与约束变元

3.5.1 自由变元与约束变元的定义

3.5.2 量词辖域的确定

3.5.3 两个规则

3.5.4 闭式

3.1 谓词的引入

3.1.1 个体词

在原子命题中，可以独立存在的客体（句子中的主语、宾语等），称为个体词。而用以刻划客体的性质或客体之间的关系即是谓词。

个体词可分为两种，个体常量和个体变量，均在个体域内取值。

• 表示具体或特定的个体词称为个体常量。一般用带或不带下标的小写英文字母a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·等表示。
• 表示抽象或泛指的个体词称为个体变量。一般用带或不带下标的小写英文字母x, y, z, · · · , x1, y1, z1, · · · 等表示。
• 个体词的取值范围称为个体域 (或论域)，常用 D 表示；
• 宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称为全总个体域。若无特别说明，均使用全总个体域

3.1.2 谓词

设D为非空的个体域，定义在D^n上取值于{0, 1}上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词，记为P(x1, x2, · · · , xn)。其中，个体变量x1, x2, · · · , xn ∈ D。

• 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量
• 表示抽象或泛指性质或关系的谓词称为谓词变量

谓词均使用大写英文字母 P, Q, R, · · · ,F,G, H, · · · 来表示

小结

• 谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变更。F(b, c) ≠ F(c, b)
• 一元谓词用以描述某一个个体的某种特性，而 n 元谓词 (n ⩾ 2) 则用以描述 n 个个体之间的关系。
• 谓词 P(x1, x2, · · · , xn) 包含了个体变量，因而本身并不是命题，只有用谓词常量取代 P，用个体常量取代 x1, x2, · · · , xn 后才会成为命题。
• 一般将没有任何个体变量的谓词称为0 元谓词，如 F(a), G(a, b), H(a1, a2, · · · , an)等。当 F,G, H 为谓词常量时，0 元谓词就成为了命题。此时，命题逻辑中的所有命题都可以表示成 0 元谓词。

3.1.3 复合命题的谓词符号化

如果王童是一个三好学生，那么她的学习成绩一定很好。

设 S(x):x 是一个三好学生，H(x)：x 学习成绩好，a：王童,

则该命题符号化为：S(a) → H(a)

李新华是李兰的父亲并且李兰和张三是同班同学。

设 F(x, y):x 是 y 的父亲，M(x, y)：x 与 y 是同班同学，b: 李新华，c: 李兰，d: 张三，

则该命题符号化为：F(b, c) ∧ M(c, d)

北京是中国的首都当且仅当 2 是偶数。

设 C(x):x 是中国的首都，E(x)：x 是偶数，b: 北京，c:2，

则该命题符号化为：C(b) ↔ E(c)

3.2 量词的引入

3.2.1 量词

全称量词 (∀x): 所有的 x；任意的 x；一切的 x；每一个 x；· · ·

存在量词 (∃x): 有些 x；至少有一个 x；某一些 x；存在 x；· · ·

其中的 x 称为作用变量。一般将其量词加在其谓词之前，记为 (∀x)F(x)，(∃x)F(x)。此时，F(x)称为全称量词和存在量词的辖域。

例如

• 所有的老虎都要吃人；P(x):x 要吃人。(∀x)P(x),x ∈{老虎}
• 每一个大学生都会说英语；Q(x):x 会说英语。(∀x)Q(x),x ∈{大学生}
• 有一些人登上过月球； R(x):x 登上过月球。(∃x)R(x),x ∈{人}
• 存在自然数是素数。S(x):x 是素数。(∃x)S(x),x ∈{自然数}

3.2.2 谓词逻辑符号化的两条规则

以上符号化必须要特别注明个体域，在表达比较复杂的命题时会容易混淆。下面引入更准确的表达方式：

• 所有的老虎都要吃人；T(x):x 是老虎，P(x):x 要吃人。(∀x)(T(x) → P(x))
• 每一个大学生都会说英语；C(x):x 是大学生，Q(x):x 会说英语。(∀x)(C(x) → Q(x))
• 有一些人登上过月球；H(x):x 是人，R(x):x 登上过月球。(∃x)(H(x) ∧ R(x))
• 存在自然数是素数。N(x):x 是自然数，S(x):x 是素数。(∃x)(N(x) ∧ S(x))

统一个体域为全总个体域，而对每一个句子中个体变量的变化范围用一元特性谓词刻划之。这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：

• 对于全称量词 (∀x)，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵式之前件加入。
• 对于存在量词 (∃x)，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入。

3.2.3 量词相关的真值确定

(∀x)G(x)：对 ∀x ∈ D,G(x) 都成立。

• (∀x)G(x) 取值为 1 当且仅当对任意 x ∈ D,G(x) 都取值为 1；
• (∀x)G(x) 取值为 0 当且仅当存在 x0 ∈ D, 使得 G(x0) 取值为 0。

(∃x)G(x)：存在一个 x0 ∈ D, 使得 G(x0) 成立。

• (∃x)G(x) 取值为 1 当且仅当存在 x0 ∈ D, 使得 G(x0) 取值为 1；
• (∃x)G(x) 取值为 0 当且仅当对任意 x ∈ D,G(x) 都取值为 0。

3.2.4 谓词翻译和真值

设 P(x)：x 是素数；I(x)：x 是整数；Q(x, y)：x+y=0。用语句描述下述句子，并判断其真假值。

(∀x)(I(x) → P(x));

“所有整数都是素数”, 真值为假

(∃x)(I(x) ∧ P(x))

“有一些整数是素数”, 真值为真

(∀x)(∀y)(I(x) ∧ I(y) → Q(x, y))

“对任意整数 x,y 都有 x+y=0”, 真值为假

(∀x)(I(x) → (∃y)(I(y) ∧ Q(x, y)))

“对任意整数 x, 都存在整数 y，使得 x+y=0”, 真值为真

(∃x)(∀y)(I(x) ∧ (I(y) → Q(x, y)))

“存在整数 x, 对任意的整数 y，都有 x+y=0”, 真值为假

3.2.5 个体域有限的情况

特别的，当个体域 D = {x0, x1, · · · , xn} 是有限集合时，(∀x)G(x) 和 (∃x)G(x) 的真值可以用与之等价的命题公式来进行表示。

• (∀x)G(x) = G(x0) ∧ G(x1) ∧ · · · ∧ G(xn)
• (∃x)G(x) = G(x0) ∨ G(x1) ∨ · · · ∨ G(xn)

例如

设个体域 D = {1, 2, 3, 4, 5},P(x)：x 是素数，则

• (∀x)P(x) = P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4) ∧ P(5) = 0 ∧ 1 ∧ 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0
• (∃x)P(x) = P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4) ∨ P(5) = 0 ∨ 1 ∨ 1 ∨ 0 ∨ 1 = 1

3.3 谓词符号化举例

3.3.1 谓词逻辑符号化示例一

没有人登上过木星；

令H(x)：x 是人，M(x)：x 登上过木星,

则命题符号化为¬(∃x)(H(x) ∧ M(x)) 或 (∀x)(H(x) → ¬M(x))

在美国留学的学生未必都是亚洲人；

令A(x)：x 是亚洲人，H(x)：x 是在美国留学的学生,

则命题符号化为¬(∀x)(H(x) → A(x)) 或 (∃x)(H(x) ∧ ¬A(x))

尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明；

令M(x)：x 是人；C(x)：x 很聪明,

则命题符号化为(∃x)(M(x) ∧ C(x)) ∧ ¬(∀x)(M(x) → C(x))

3.3.2 谓词逻辑符号化示例二

天下乌鸦一般黑；

令F(x)：x 是乌鸦；G(x, y)：x 与 y 一般黑,

则命题符号化为(∀x)(∀y)(F(x) ∧ F(y) → G(x, y)) 或 ¬(∃x)(∃y)(F(x) ∧ F(y) ∧ ¬G(x, y))

每个实数都存在比它大的另外的实数；

令R(x)：x 是实数；L(x, y)：x 小于 y,

则命题符号化为(∀x)(R(x) → (∃y)(R(y) ∧ L(x, y)))

若假定个体域为所有实数，则命题符号化为(∀x)(∃y)L(x, y)

量词对变元的约束往往与量词的次序有关。不同的量词次序，可以产生不同的真值。因此当多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则会改变原有的含义。

3.3.3 谓词逻辑符号化示例三

符号化下面一组语句：

所有狮子都是凶猛的；有些狮子不喝咖啡；有些凶猛的动物不喝咖啡。

解

令P(x)：x 是狮子；Q(x):x 是凶猛的;R(x):x 喝咖啡,

假定所有动物的集合为个体域，则命题符号化为

(∀x)(P(x) → Q(x));

(∃x)(P(x) ∧ ¬R(x));

(∃x)(Q(x) ∧ ¬R(x))

3.3.4 谓词逻辑符号化示例四

符号化下面一组语句：

所有的蜂鸟都五彩斑斓；没有大鸟以蜜为生；不以蜜为生的鸟都色彩单调；蜂鸟都是小鸟。

解

令P(x)：x 是蜂鸟；Q(x)：x 是大鸟;R(x)：x 是以蜜为生的鸟；S(x)：x 五彩斑斓，

假定所有鸟的集合为个体域，则命题符号化为

(∀x)(P(x) → S(x));

¬(∃x)(Q(x) ∧ R(x));

(∀x)(¬R(x) → ¬S(x));

(∀x)(P(x) → ¬Q(x))

3.4 谓词合式公式

3.4.1 四类符号

在基于谓词的形式化中，我们将使用如下四种符号：

• 常量符号：指所属个体域 D 中的某个元素，用带或不带下标的小写英文字母a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · · 来表示。
• 变量符号：指所属个体域D 中的任意元素，用带或不带下标的小写英文字母x, y, z, · · · , x1, y1, z1, · · · 来表示。
• 函数符号：n 元函数符号 f(x1, x2, · · · , xn) 可以是所属个体域集合D^n → D的任意一个函数，用带或不带下标的小写英文字母 f, g, h, · · · , f1, g1, h1, · · · 来表示。
• 谓词符号：n 元谓词符号 P(x1, x2, · · · , xn) 可以是所属个体域集合Dn → {0, 1}的任意一个谓词，用带或不带下标的大写英文字母 P, Q, R, · · · , P1, Q1, R1, · · · 来表示。

3.4.2 项

谓词逻辑中的项（Term），被递归地定义为：

• 任意的常量符号或任意的变量符号是项；
• 若 f(x1, x2, · · · , xn) 是 n 元函数符号，t1,t2, · · · ,tn 是项，则f(t1,t2, · · · ,tn)是项；
• 仅由有限次使用以上两个规则产生的符号串才是项。

3.4.3 合式公式

若 P(x1, x2, · · · , xn) 是 n 元谓词，t1,t2, · · · ,tn 是项，则称 P(t1,t2, · · · ,tn) 为原子谓词公式，简称原子公式。

满足下列条件的表达式，称为合式公式(well-formed formulae/wff)，简称公式。

• 原子公式是合式公式；
• 若 G，H 是合式公式，则(¬G)，(¬H)，(G ∨ H)，(G ∧ H)，(G → H)，(G ↔ H) 也是合式公式；
• 若 G 是合式公式，x 是个体变量，则(∀x)G、(∃x)G也是合式公式；
• 由有限次使用以上三个规则产生的表达式才是合式公式。

注：

• 公式的最外层括号可省略
• 一个量词的辖域中仅出现一个原子公式，则此辖域的外层括号可省略，否则不能省略；
• 一个个体词只能受一个量词的约束，否则就是没有意义的

3.5 自由变元与约束变元

3.5.1 自由变元与约束变元的定义

给定一个合式公式 G，若变元 x 出现在使用变元的量词的辖域之内，则称变元 x 的出现为约束出现，此时的变元 x 称为约束变元。若 x 的出现不是约束出现，则称它为自由出现，此时的变元 x 称为自由变元

3.5.2 量词辖域的确定

• 若量词后有括号，则括号内的子公式就是该量词的辖域；(∀x)(· · ·)
• 若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为该量词的辖域。(∀x)F(x)

例如

3.5.3 两个规则

规则 1：约束变元的改名规则

• 将量词中的变元以及该量词辖域中此变量之所有约束出现都用新的个体变元替换；
• 新的变元一定要有别于改名辖域中的所有其它变量。

规则 2：自由变元的代入规则

• 将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个体变元替换；
• 新的变元不允许在原公式中以任何约束形式出现。也可用个体常量代入

3.5.4 闭式

设 G 是任意一个公式，若 G 中无自由出现的个体变元，则称 G 为封闭的合式公式，简称闭式。

显然，闭式是一个命题。