【LetMeFly】891.子序列宽度之和

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

方法一：排序求贡献

本题只关注序列的最大值和最小值，同时，“序列”是不要求“连续”的

因此答案和数组中元素的顺序无关，我们可以对数组先排个序

排序之后，对于下标为iii的元素，以nums[i]nums[i]nums[i]为最大值的子序列个数为2i2^i2i个（不考虑两个元素相等的情况），因此nums[i]nums[i]nums[i]对答案的贡献有2i×nums[i]2^i\times nums[i]2i×nums[i]；以nums[i]nums[i]nums[i]为最小值的子序列个数为2n−i−12^{n - i - 1}2n−i−1个，因此nums[i]nums[i]nums[i]对答案的贡献有−2n−i−1×nums[i]-2^{n - i - 1}\times nums[i]−2n−i−1×nums[i]

1 5 7 9↑下标为2以nums[2]为最大值的子序列有：[7], [1, 7], [5, 7], [1, 5, 7]共4个以nums[2]为最小值的子序列有：[7], [7, 9]共2个这里不需要考虑7计算两次的情况，因为单独一个[7]的“宽度”为0这里不需要考虑元素相等的情况。假如原数组为1, 7, 7, 9，那么计算结果是不受影响的

我们可以预处理求得2i2^i2i，也可以使用快速幂

• 时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)，其中nnn是数组中原神的个数
• 空间复杂度O(n)O(n)O(n)

AC代码

C++

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:int sumSubseqWidths(vector& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());ll ans = 0;int n = nums.size();vector Pow(n);Pow[0] = 1;for (int i = 1; i < n; i++)Pow[i] = (Pow[i - 1] * 2) % MOD;for (int i = 0; i < n; i++) {ans = (ans + (Pow[i] - Pow[n - i - 1]) * nums[i]) % MOD;}return (ans % MOD + MOD) % MOD;}
};

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/127916253