🎇C++笔试强训

---

• 博客主页：一起去看日落吗
• 分享博主的C++刷题日常，大家一起学习
• 博主的能力有限，出现错误希望大家不吝赐教
• 分享给大家一句我很喜欢的话：夜色难免微凉，前方必有曙光 🌞。

---

🍁 🍃 🍂 🌿

目录

• 🍁 前言
• 🍁 1. AVL树
• • 🍂 1.1 AVL树的概念
  • 🍂 1.2 AVL树节点的定义
  • 🍂 1.3 AVL树的插入
  • 🍂 1.4 AVL树的旋转
  • 🍂 1.5 AVL树的验证
  • 🍂 1.6 AVL树的性能
  • 🍂 1.7 AVL树的实现

🍁 前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个
共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

🍁 1. AVL树

🍂 1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

• 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O(log2n)O(log_2 n)O(log2​n)，搜索时间复杂度O(log2nlog_2 nlog2​n)。

🍂 1.2 AVL树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode* _pLeft; // 该节点的左孩子AVLTreeNode* _pRight; // 该节点的右孩子AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf; // 该节点的平衡因子
};

🍂 1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：
-1，0, 1, 分以下两种情况：

1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
   成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
   新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
   行旋转处理

pair Insert(const pair& kv){if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点{_root = new Node(kv);return make_pair(_root, true);}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//先利用while循环去找cur的空位while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return make_pair(cur, false);}}//将cur插入到相应位置cur = new Node(kv);Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//进行旋转调整//while(cur!=_root)while (parent){//1.进入循环先对平衡因子进行调整if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}//分三种情况向上走if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整{//为什么不需调整//因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){//平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况{if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况{RotateR(parent);}else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋{RotateLR(parent);}}else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况{if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况{RotateL(parent);}else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋{RotateRL(parent);}}//思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢break;//调整完成后break退出循环//这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了}else{assert(false);}}return make_pair(newnode,true);}

🍂 1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

• 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用{subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来parent->_parent = subL;//if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的if(parent==_root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{//这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子if (parentParent->_left == parent)parentParent->_left = subL;elseparentParent->_right = subL;subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上}parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0}

• 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

和右单旋近似，可以参考代码

void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//先把subR的左孩子赋值给parent的右节点parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况{subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针}//然后subR的左节点链接上parentsubR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录parent->_parent = subR;//if (parentParent == nullptr)if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent)parentParent->_left = subR;elseparentParent->_right = subR;subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

• 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的else{assert(false);}}

• 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变//subRL的平衡因子是双旋的关键节点RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的else{assert(false);}}

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   – 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   – 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   – 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   – 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

🍂 1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   – 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   – 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   – 节点的平衡因子是否计算正确

void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点{if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}//验证是否为平衡二叉树//1.左子树高度与右子树高度差必须小于1int _Height(Node* root)//求树的高度函数{if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解int rightHeight = _Height(root->_right);return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);// 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查}bool IsAVLTree(){return _IsBalance(_root);}

🍂 1.6 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)log_2 (N)log2​(N)。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

🍂 1.7 AVL树的实现

AVLTree.hpp

//
//  AVLTree.hpp
//  AVLtree
//
//  Created by 卜绎皓 on 2022/11/16.
//#pragma once
#include
#include
#include
using namespace std;template
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right;AVLTreeNode* _parent;//定义成三叉链的形式int _bf;//balance factor平衡因子pair _kv;//用pair同时存K和V两个数据AVLTreeNode(const pair& kv)//节点构造函数:_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0)//平衡因子初始给0,_kv(kv){}
};template
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode Node;
public:AVLTree():_root(nullptr){}//拷贝构造和赋值拷贝也需要自己实现AVLTree(const AVLTree& kv){_root = Copy(kv._root);}AVLTree& operator=(AVLTree kv){swap(_root, kv._root);return *this;}~AVLTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newroot = new Node(root->_key);//建立新节点newroot->_left = Copy(root->_left);//新节点的左右节点再去转换成子问题newroot->_right = Copy(root->_right);return newroot;//最后返回新节点}void Destroy(Node* root){//利用后序遍历去释放节点if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}V& operator[](const K& key)//重载operator[]{//operator[]的原则是://如果插入成功返回插入都value的引用//如果插入失败则返回V类型默认缺省值pair ret = Insert(make_pair(key, V()));//V采用传匿名对象的方式return ret.first->_kv.second;}Node* Find(const pair& kv)//查找函数{Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用{subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来parent->_parent = subL;//if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的if(parent==_root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{//这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子if (parentParent->_left == parent)parentParent->_left = subL;elseparentParent->_right = subL;subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上}parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//先把subR的左孩子赋值给parent的右节点parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况{subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针}//然后subR的左节点链接上parentsubR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录parent->_parent = subR;//if (parentParent == nullptr)if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent)parentParent->_left = subR;elseparentParent->_right = subR;subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变//subRL的平衡因子是双旋的关键节点RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的else{assert(false);}}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的else{assert(false);}}pair Insert(const pair& kv){if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点{_root = new Node(kv);return make_pair(_root, true);}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//先利用while循环去找cur的空位while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return make_pair(cur, false);}}//将cur插入到相应位置cur = new Node(kv);Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//进行旋转调整//while(cur!=_root)while (parent){//1.进入循环先对平衡因子进行调整if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}//分三种情况向上走if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整{//为什么不需调整//因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){//平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况{if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况{RotateR(parent);}else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋{RotateLR(parent);}}else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况{if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况{RotateL(parent);}else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋{RotateRL(parent);}}//思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢break;//调整完成后break退出循环//这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了}else{assert(false);}}return make_pair(newnode,true);}void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点{if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}//验证是否为平衡二叉树//1.左子树高度与右子树高度差必须小于1int _Height(Node* root)//求树的高度函数{if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解int rightHeight = _Height(root->_right);return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);// 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查}bool IsAVLTree(){return _IsBalance(_root);}
private:Node* _root;
};