我们都知道,(lnx)′=1x(\ln x)'=\dfrac 1x(lnx)′=x1。那么ln∣x∣\ln |x|ln∣x∣的导数是什么呢?
我们先看定义域。ln∣x∣\ln |x|ln∣x∣的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)
当x∈(−∞,0)x\in(-\infty ,0)x∈(−∞,0)时,
ln∣x∣=ln(−x)\ln |x|=\ln (-x)ln∣x∣=ln(−x),那么(ln∣x∣)′=(ln(−x))′=1x(\ln |x|)'=(\ln (-x))'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=(ln(−x))′=x1
注意ln(−x)\ln (-x)ln(−x)是复合函数,(ln(−x))′=−1x×(−1)=1x(\ln (-x))'=-\dfrac 1x\times (-1)=\dfrac 1x(ln(−x))′=−x1×(−1)=x1
当x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞)时,
ln∣x∣=lnx\ln |x|=\ln xln∣x∣=lnx,那么(ln∣x∣)′=(lnx)′=1x(\ln |x|)'=(\ln x)'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=(lnx)′=x1
所以(ln∣x∣)′=1x(\ln |x|)'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=x1
虽然两个函数的导数相同,但两个函数的定义域不同。
lnx\ln xlnx的定义域为(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞),ln∣x∣\ln |x|ln∣x∣的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)。
所以用的时候要注意。