lnx和ln|x|
创始人
2024-01-25 07:49:26
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我们都知道,(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac 1x(lnx)′=x1​。那么ln⁡∣x∣\ln |x|ln∣x∣的导数是什么呢?

我们先看定义域。ln⁡∣x∣\ln |x|ln∣x∣的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)

当x∈(−∞,0)x\in(-\infty ,0)x∈(−∞,0)时,
ln⁡∣x∣=ln⁡(−x)\ln |x|=\ln (-x)ln∣x∣=ln(−x),那么(ln⁡∣x∣)′=(ln⁡(−x))′=1x(\ln |x|)'=(\ln (-x))'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=(ln(−x))′=x1​

注意ln⁡(−x)\ln (-x)ln(−x)是复合函数,(ln⁡(−x))′=−1x×(−1)=1x(\ln (-x))'=-\dfrac 1x\times (-1)=\dfrac 1x(ln(−x))′=−x1​×(−1)=x1​

当x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞)时,
ln⁡∣x∣=ln⁡x\ln |x|=\ln xln∣x∣=lnx,那么(ln⁡∣x∣)′=(ln⁡x)′=1x(\ln |x|)'=(\ln x)'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=(lnx)′=x1​

所以(ln⁡∣x∣)′=1x(\ln |x|)'=\dfrac 1x(ln∣x∣)′=x1​


虽然两个函数的导数相同,但两个函数的定义域不同。
ln⁡x\ln xlnx的定义域为(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞),ln⁡∣x∣\ln |x|ln∣x∣的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty,0)\cup(0,+\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)。
所以用的时候要注意。

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