参考

代码随想录

题目一：LeetCode 332.重新安排流程

这道题目有几个难点：

1. 一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环
2. 有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？
3. 使用回溯法（也可以说深搜） 的话，那么终止条件是什么呢？
4. 搜索的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场。

用unordered_map>来记录映射关系，其含义是unordered_map<出发地,map<目的地,航班次数>>。

回答上面的问题：

1. 通过改变航班次数来避免死循环，如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。
2. 在对map初始化后，其中的键值对会按照string的字典序排列，所以在遍历targets时也会按照字典序进行，最终得到的结果就是按照字典序排列的。
3. 如果保存结果的数组result中保存的机场数量等于航班数量加1，则说明所有的航班都遍历过了，可以返回了。
4. 根据上面给出的映射关系，即unordered_map<出发地,map<目的地,航班次数>>，来遍历每个出发地对应的多个目的地。

• 递归函数的参数和返回值
  参数：传入航班数量ticketNum，在终止判断的时候会用到；保存结果的数组result.
  返回值：bool类型，如果找到航程就返回true

bool backtracking(int ticketNum,vector& result);

• 递归终止条件
  当result保存的机场数量等于航班数量加1的时候，说明所有的航班都已经遍历过一次了，此时结束递归。

if(1 + ticketNum == result.size())return true;

• 单层搜索逻辑
  题目中给出，必须从“JFK”出发，因此初始化的时候加"JFK"加入到result中，然后以此为出发地，遍历其所有的目的地，又以这些目的地作为出发地，遍历得到目的地，以此循环，直到找到一个航班。

for (pair& target : targets[result[result.size() - 1]]) {if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(ticketNum, result)) return true;result.pop_back();target.second++;}
}

完整的代码实现如下：

class Solution {
private:
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector& result) {if (result.size() == ticketNum + 1) {return true;}for (pair& target : targets[result[result.size() - 1]]) {if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(ticketNum, result)) return true;result.pop_back();target.second++;}}return false;
}
public:vector findItinerary(vector>& tickets) {targets.clear();vector result;for (const vector& vec : tickets) {targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系}result.push_back("JFK"); // 起始机场backtracking(tickets.size(), result);return result;}
};

题目二：LeetCode 51.N皇后

以3*3为例，搜索过程如下：

1. 递归参数和返回值
   参数：n，row（用于记录当前在第几行，类似于之前的startIndex），一个二维数组模拟棋盘上皇后和空格的分布
   返回值：无

void backtracking(int n, int row, vector& chessboard);

2. 递归终止条件：当遍历到棋盘最底层的时候就可以保存结果并返回了。

if (row == n) {result.push_back(chessboard);return;
}

3. 底层搜索逻辑
   递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

for (int col = 0; col < n; col++) {if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后}
}

其中的isValid()函数是判断当前位置的合法性。
完整的代码实现如下：

class Solution {
private:
vector> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector& chessboard) {if (row == n) {result.push_back(chessboard);return;}for (int col = 0; col < n; col++) {if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后}}
}
bool isValid(int row, int col, vector& chessboard, int n) {// 检查列for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 检查 45度角是否有皇后for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 检查 135度角是否有皇后for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;
}
public:vector> solveNQueens(int n) {result.clear();std::vector chessboard(n, std::string(n, '.'));backtracking(n, 0, chessboard);return result;}
};

题目三：LeetCode 37.解数独

• 递归参数和返回值

bool backtracking(vector>& board);

• 终止条件
  本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。
• 单层搜索逻辑
  需要一个二维的递归（也就是两个for循环嵌套着递归），一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

bool backtracking(vector>& board) {for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列if (board[i][j] != '.') continue;for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适if (isValid(i, j, k, board)) {board[i][j] = k;                // 放置kif (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k}}return false;                           // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false}}return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}

其中的isValid()函数用来判断当前数据分布是否满足条件。
完整的代码实现如下：

class Solution {
private:
bool backtracking(vector>& board) {for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列if (board[i][j] == '.') {for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适if (isValid(i, j, k, board)) {board[i][j] = k;                // 放置kif (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k}}return false;  // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false }                }}return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector>& board) {for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复if (board[row][i] == val) {return false;}}for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复if (board[j][col] == val) {return false;}}int startRow = (row / 3) * 3;int startCol = (col / 3) * 3;for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {if (board[i][j] == val ) {return false;}}}return true;
}
public:void solveSudoku(vector>& board) {backtracking(board);}
};

回溯总结

什么是回溯

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。
回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

回溯的思想

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
在回溯中，都会用for循环来横向遍历，递归来纵向遍历，也就是说用递归来控制for循环的次数。
在回溯中会进行剪枝，剪枝通常是根据已经知道的条件缩小for循环的遍历范围。在for循环上做剪枝操作是回溯法剪枝的常见套路！

回溯能解决什么问题

回溯算法能解决如下问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等